sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ( T12 cua Vân - THĐ - HP)

Bài I;Khẳng định:
.Các hàm số sau đây luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
của nó.Đúng hay sai?
1) y = tgx
2) y = cotgx
3) y = 1 3x
4) y = lgx
5)y = lnx
7) y =
e
3
( )
x
6)y =

2
( )
x
8) y = e
x

9) y = log
0,5
(1- x)
10) y = 3
2 -5x
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
S
S
S
S




Chương II:ứng dụng của đạo hàm
Tiết 1: sự Đồng biến, nghịch biến
của hàm số

A
1. f(x) đồng biến trên ( a ;b )
1. f(x) đồng biến trên ( a ;b )




x
x
1,
1,
,x
,x
2
2


(a;b) và x
(a;b) và x
1
1
< x
< x
2
2
=> f(x
=> f(x
1
1
) < f(x
) < f(x
2
2
)
)
I .Nhắc lại định nghĩa Hàm Số đồng biến, nghịch biến
A
2. f(x) nghịch biến trên ( a ;b )
2. f(x) nghịch biến trên ( a ;b )




x
x
1,
1,
,x
,x
2
2


(a;b) và x
(a;b) và x
1
1
< x
< x
2
2
=> f(x
=> f(x
1
1
) > f(x
) > f(x
2
2
)
)
Cho hàm số f(x) xác định trên (a;b)
O
x
y
O
x
y
a
b
y = f(x)
b
a
y = f(x)

Nhận xét
f(x) đồng biến trên (a;b)
=> f

(x) = lim
y
x
0
0 trên (a;b)
f(x) ngh biến trên (a;b)
=> f

(x) = lim
y
x
0
0 trên (a;b)
Chiều ngược
lại có đúng
không?
Giới hạn này
có là điều kiện
đủ của tính đơn
điệu?

2.Điều kiện đủ của tính đơn điệu
f(b) f(a)
b - a
f

( c ) =
Định lý Lagrăng:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
có đạo hàm trên khoảng (a;b)
Thì tồn tại c (a;b) sao cho f(b) f(a) = f

( c )(b a)
Hay
A
B
y
x
O
C
a
f(a)
b
c
f(c)

d
k
d
= f

(c)
f(b) f(a)
b - a
f

( c ) =
f(b) f(a)
b - a
k
AB
=

ý nghĩa hình học của định lý Lagrăng (sgk)
A
B
y
x
O
C
a
f(a)
b
c
f(c)

d
Cho hàm số y = f(x) thoả mãn định lý Lagrăng đồ thị ( C )
A ; B ( C ) = > C (c; f (c) ) cung AB sao cho tiếp tuyến tại C // AB

Định lý 1
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a)Nếu f

(x) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên
khoảng đó.
b)Nếu f

(x) < 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên
khoảng đó.
Chứng minh
Chứng minh
a <x
1
< x
2
< b ta phải chứng minh f(x
1
) < f(x
2
)
áp dụng định lý Lagrăng
thoả mãn trên tập [x
1
;x
2
]
> c (x
1
;x
2
) sao cho
f(x
2
) f(x
1
) = f ( c) (x
2
x
1
)
Do f (x) > 0 /(a;b) =>
f (x) > 0 / (x
2
x
1
) =>
f (c ) > 0 lại do x
2
x
1
> 0
x
O
f(b)
b
f(a)
x
1
x
2
f(x
1
)
f(x
2
)
y
a
=> f (x
2
) > f (x
1
)


Định lý 1
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a)Nếu f

(x) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên
khoảng đó.
b)Nếu f

(x) < 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên
khoảng đó.
Mở rộng
Định lý 2
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a)Nếu f

(x) 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên
khoảng đó.(Đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
b)Nếu f

(x) 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên
khoảng đó.( Đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
Định lý 2 định lý 1 n t n?
Lợi ích của định
lý điều kiện đủ
mở rộng?

Ví dụ 1:
Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sau
y = x
2
4x +6
Bài giải Tập xác định: D = R
Chiều biến thiên:
y = 2x 4 ,
Giải phương trình y = 0 2x 4 = 0 x = 2
Dấu y
X

2
+
y - 0 +
Hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng ( 2 ;+)
Và nghịch biến trên khoảng (- ; 2)

Ví dụ 2:
Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sau
y = x
3
3x
2
+6
Bài giải Tập xác định: D = R
Chiều biến thiên:
y = 3x
2
6x ,
Giải phương trình y = 0 3x
3
6x = 0 x = 0 v x = 2
Dấu y
X

0 2
+
y + 0 - 0 +
Hàm số luôn luôn đồng biến trên các khoảng ( - ; 0) ;(2;+)
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Ví dụ 3:
Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sau
y = - x
4
+ 2x
2
+6
Bài giải Tập xác định: D = R
Chiều biến thiên:
y = - 4x
3
+4x ,
Giải phương trình y = 0 -4x
3
+ 4x = 0 x = 0 v x = 1
Dấu y
Hàm số luôn luôn đồng biến trên các khoảng ( - ; 0) ;(2;+)
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)
X
-
-1 0 1
+
y - 0 + 0 - 0 +

Ví dụ 4: Xác định chiều biến thiên của hàm số:
5
3
3
=+=
x
xy
Bài giải:
*Tập xác định: D = (-;0)(0;+)
* Đạo hàm y =
2
2
)1(3
x
x

y = 0 x = 1
X

-1 0 1
+
y + 0 -|| - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-1) ;(1;+)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) ;(0;1)
Nêu Quy
tắc xác
định chiều
biến thiên
của hàm
số

3.Điểm tới hạn.
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
x
0
(a;b).Điểm x
0
được gọi là một điểm tới hạn của hàm số f(x)
Nếu tại đó f (x) không xác định hoặc x
0
là nghiệm của phương trình
f (x) = 0.
Qui tắc:

Tìm tập xác định của hàm số

Tìm điểm tới hạn của hàm số

xét dấu f (x)

Kết luận về khoảng đồng biến , nghịch biến theo định lý

Xem chi tiết: sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ( T12 cua Vân - THĐ - HP)