Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chƣơng I trình bày các điều kiện tối ƣu cấp cao của I.Ginchev [5] cho
bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn, không có ràng buộc trong không
gian Banach. Kết quả chỉ ra rằng với các điểm cực tiểu cô lập, điều kiện đủ
cũng là điều kiện cần, và nhƣ vậy ta nhận đƣợc một điều kiện đặc trƣng cho
cực tiểu cô lập.
Chƣơng II trình bày các nghiên cứu về các điểm cực tiểu Pareto địa
phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của B.Jiménez [6] và
các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu yếu, cực tiểu Pareto địa phƣơng
chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của Đ.V.Lƣu và P.T.Kiên [7]
cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn trong không gian định chuẩn với
ràng buộc tập, dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của I.Ginchev
[5].
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Đỗ
Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại
học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trƣờng ĐH Sƣ phạm – ĐH Thái Nguyên
cùng các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành
cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học Toán K15
đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm
luận văn.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
4
Chƣơng I
ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU
ĐƠN MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
Năm 2002, I.Ginchev [5] đƣa ra một khái niệm đạo hàm theo phƣơng
cấp cao cho các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên không gian Banach và
thiết lập các điều kiện tối ƣu cấp cao cho bài toán tối ƣu không trơn không có
ràng buộc. Các kết quả trình bày trong chƣơng này là của I.Ginchev [5].
1.1. ĐẠO HÀM THEO PHƢƠNG CẤP CAO GINCHEV VÀ ĐIỀU KIỆN
TỐI ƢU CẤP CAO
Giả sử E là không gian Banach thực, là tập các số thực và
{ } {+ }
. Ta sẽ đƣa vào đạo hàm theo phƣơng cấp cao cho hàm
không trơn
:fE
tại điểm
0
xE
để dẫn điều kiện tối ƣu cấp cao cho
bài toán tối ƣu :
()f x min
.
Ở đây ta xét hàm f không trơn, thậm chí f không nhất thiết liên tục.
Nhắc lại: điểm
0
xE
gọi là điểm cực tiểu địa phương của f nếu tồn tại
lân cận U của x
0
sao cho
0
( ) ( ),f x f x x U
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5
Nếu bất đẳng thức này chặt với
0
xx
thì x
0
đƣợc gọi là cực tiểu địa phương
chặt.
Ký hiệu B và S tƣơng ứng là hình cầu đơn vị
:1x E x
và mặt
cầu đơn vị
:1x E x
trong E. Ta chỉ cần xét các phần tử của S thay cho
các phƣơng ( khác 0 ) trong E. Ký hiệu S là tôpô trên S. Tôpô S đƣợc dùng để
định nghĩa đạo hàm theo phƣơng của f. Ta chỉ hạn chế xét tôpô mạnh, tôpô
yếu, tôpô rời rạc và tôpô phản rời rạc ( tôpô tầm thƣờng ). Tôpô mạnh và tôpô
yếu trên S cảm sinh tƣơng ứng từ tôpô mạnh ( tôpô chuẩn ) và tôpô yếu trên
E. Mỗi tập con của S là mở đối với tôpô rời rạc, còn đối với tôpô phản rời rạc
trên S, chỉ có hai tập mở là S và tập rỗng.
Lấy u
S. Ta định nghĩa đạo hàm dưới cấp không của f tại x
0
theo
phƣơng u bởi công thức
(0) 0 0
( , ') ( 0, )
( , ) ( ')
t u u
f x u lim inf f x tu
,
trong đó
'u
S. Chú ý rằng trong giới hạn trên, ta bắt đầu với đạo hàm cấp
không để bao hàm đƣợc cả những hàm không liên tục trong lý thuyết. Đạo
hàm
(0) 0
( , )f x u
luôn tồn tại và là một phần tử của .
Với mỗi số nguyên dƣơng n và mỗi phƣơng u
S, ta thừa nhận rằng:
đạo hàm dƣới cấp n
( ) 0
( , )
n
f x u
theo phƣơng u tồn tại và là một phần tử của
khi và chỉ khi các đạo hàm
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0, 1, , n – 1 tồn tại trong . Ta
định nghĩa đạo hàm theo phương dưới cấp n nhƣ sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6
1
( ) 0 0 ( ) 0
( , ') ( 0, )
0
!
( , ) ( ') ( , )
!
i
n
ni
n
t u u
i
nt
f x u lim inf f x tu f x u
ti
. (1.1)
Vì
( ) 0
( , )
i
f x u
với i = 0, , n – 1, chỉ có số hạng
0
( ')f x tu
trong (1.1)
có thể nhận giá trị vô hạn. Do đó biểu thức
không thể xuất hiện trong
(1.1).
Ta sẽ dùng khái niệm đã đƣa vào để dẫn điều kiện tối ƣu cấp cao. Liên
quan đến tính tối ƣu không trơn, các điều kiện cấp cao sau đây là quan trọng.
Ở đây u
S là một phƣơng cố định và n là một số dƣơng.
0
0
( , )S x u
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
0
( , )
n
S x u
(0) 0 0 ( ) 0
( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1, , 1)
i
f x u f x f x u i n
và
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
,
0
0
( , )N x u
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
,
0
n
( , )N x u
Nếu
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
( ) 0
( , ) 0 ( 1, , 1)
i
f x u i n
thì
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
.
Định lý 1.1( Điều kiện cần cấp cao)
Giả sử x
0
là điểm cực tiểu địa phương của hàm
:fE
. Giả sử u
S
và n = n(u) là số nguyên không âm tuỳ ý sao cho tất cả các đạo
hàm
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0, , n, tồn tại.
Khi đó tất cả các điều kiện
0
i
( , )N x u
, i = 0, , n đều thỏa mãn.
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7
Lấy
> 0 sao cho
0
( ) ( )f x f x
với
0
xx
.
Lấy u
S. Với
'u
S và
0 t
, ta có
00
( ') ( ) 0f x tu f x
.
Do đó,
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
. Đây chính là điều kiện
0
0
( , )N x u
.
Mặt khác, giả sử với n = n(u), các đạo hàm
( ) 0
( , )
i
f x u
, i = 0, , n tồn
tại,
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
và
( ) 0
( , ) 0 ( 1, , 1)
i
f x u i n
.
Khi đó,
1
0 (0) 0 ( ) 0
1
!
( ') ( , ) ( , )
!
i
n
i
n
i
nt
f x tu f x u f x u
ti
=
0 (0) 0
!
( ') ( , ) 0
n
n
f x tu f x u
t
.
Vì vậy
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
. Đây chính là điều kiện
0
n
( , )N x u
.
Để có điều kiện đủ, ta cần có bổ đề sau đây
Bổ đề 1.1
Giả sử hàm
:fE
. Lấy
0
xE
và u
S sao cho tồn tại một số
nguyên không âm n để điều kiện
0
n
S ( , )xu
thoả mãn.
Khi đó, tồn tại số
( ) 0u
và một lân cận U = U(u)
S của u (
đối với tôpô S ) sao cho
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
()u
và
'u
U(u).
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8
Giả sử
0
0
( , )S x u
đúng. Lấy số
thoả mãn
(0) 0 0
( , ) ( )f x u f x
.
Từ định nghĩa của
(0) 0
( , )f x u
suy ra tồn tại
( ) 0u
và lân cận U =
U(u)
S của u sao cho
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
và
'u
U(u).
Giả sử điều kiện
0
( , )
n
S x u
thoả mãn với số dƣơng n nào đó, và số
thoả mãn
( ) 0
( , ) 0
n
f x u
.
Do
(0) 0 0 ( ) 0
( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1, , 1)
i
f x u f x f x u i n
, nên ta có
1
0 0 0 ( ) 0
0
1!
( ') ( ) ( ') ( , )
!!
i
n
in
n
i
nt
f x tu f x f x tu f x u t
n t i
.
Theo định nghĩa của
( ) 0
( , )
n
f x u
, với số dƣơng t đủ nhỏ và
'u
đủ gần u, ta có
00
1
( ') ( ) 0
!
n
f x tu f x t
n
.
Định lý 1.2 ( Điều kiện đủ cấp cao)
Giả sử hàm
:fE
,
0
xE
và S là compact đối với tôpô S. Giả sử
với mỗi u
S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện
0
( , )
n
S x u
thoả mãn.
Khi đó, x
0
là cực tiểu địa phương chặt của hàm f.
Chứng minh
Theo bổ đề 1.1. với mỗi u
S, tồn tại số
( ) 0u
và một lân cận U
= U(u)
S của u ( đối với tôpô S ) sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi 0 < t <
()u
và
'u
U(u).
Do S compact cho nên S nằm trong hợp một số hữu hạn các lân cận
U(u), tức là S
( U(u
1
)
U(u
s
)) với u
1
, , u
s
nào đó.
Đặt
0
= min (
1
()u
, ,
()
s
u
).
Khi đó,
00
( ') ( )f x tu f x
với mọi
'u
S và 0 < t <
0
.
Điều này có nghĩa là
0
( ) ( )f x f x
với mọi 0 <
0
0
xx
, và do đó
x
0
là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt của f.
Hệ quả 1.1
Giả sử E là không gian Banach hữu hạn chiều và S là tôpô mạnh trên
S. Hàm
:fE
và đạo hàm dưới của f được xác định theo tôpô S. Giả sử
với mỗi u
S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện
0
( , )
n
S x u
thoả mãn. Khi đó, x
0
là điểm cực tiểu địa phương chặt của f.
Ví dụ 1.1
Cho E là không gian Banach tùy ý. Hàm
:fE
xác định bởi
f(x) =
x
.
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt của f.
Giả sử S là tôpô phản rời rạc trên S. Khi đó mặt cầu đơn vị S là
compact. Với mỗi phƣơng u
S ta có
(0)
(0, ) 0 (0)f u f
và
(1)
(0, ) 1 0fu
.
Vậy x
0
là cực tiểu địa phƣơng chặt theo điều kiện cấp một trong định lý 1.2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10
Chú ý rằng với các cách chọn tôpô S khác, chẳng hạn nếu không gian
E trong ví dụ 1.1 là vô hạn chiều và tôpô mạnh thay thế cho tôpô phản rời rạc
thì điểm x
0
= 0 không là cực tiểu bởi vì mặt cầu S không compact.
Giả sử S là tôpô rời rạc. Vì tập một điểm là mở, sự hội tụ
( , ') ( 0, )t u u
có nghĩa đơn giản là
0t
và ta nhận đƣợc đạo hàm Dini.
Tuy nhiên, đối với tôpô rời rạc, S là compact chỉ nếu S là tập hữu hạn, nghĩa
là chỉ trong trƣờng hợp một chiều. Ngoài trƣờng hợp một chiều, đạo hàm theo
phƣơng dƣới Dini không thể sử dụng đƣợc điều kiện đủ của định lý 1.2. Đạo
hàm Dini hữu ích trong điều kiện cần của định lý 1.1 bởi vì việc tính toán giới
hạn
0t
thuận tiện hơn so với giới hạn
( , ') ( 0, )t u u
.
Trong trƣờng hợp tôpô S trên S là tôpô mạnh, ta sử dụng đạo hàm theo
phƣơng dƣới Hadamard. Hệ quả 1.1 cho thấy rằng đạo hàm Hadamard là hữu
ích cho các điều kiện đủ trong không gian Banach hữu hạn chiều.
Ví dụ 1.2
Cho E = l
2
là không gian Hilbert thực gồm các dãy x = ( x
1
, , x
n
, )
trong đó
2
2
1
i
i
xx
.
Với mỗi x , đặt
12
, , , ,
n
x x x x
.
Lấy c = ( c
1
, , c
n
, ) là một vectơ cố định trong l
2
mà tất cả các thành
phần đều dƣơng. Trên l
2
xét hàm
1
( ) ,
ii
i
f x c x c x
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
11
( ở đây < . , . > là tích vô hƣớng trên l
2
).
Hiển nhiên x
0
= 0 là điểm cực tiểu chặt của f.
Với mỗi u = ( u
1
, , u
n
, ) cố định thuộc mặt cầu đơn vị S
l
2
, các
điều sau thoả mãn:
1)
(0) 0
( , ) 0f x u
đối với mọi tôpô S trên S.
2)
(1) 0
( , ) ,f x u c u
nếu S là các tôpô rời rạc, mạnh hoặc yếu trên S
và
(1) 0
( , ) 0f x u
nếu S là tôpô phản rời rạc.
Chứng minh
Lấy
1
' ( ', , ', )
n
u u u
S và t > 0. Ta có
0 <
0
( ')f x tu
=
,'t c u
tc
.
Từ đó suy ra
(0) 0
( , )f x u
= 0.
Để có đạo hàm dƣới cấp một, ta để ý rằng
0 (0) 0
1
( ') ( , )f x tu f x u
t
=
1
( ')f tu
t
=
,'cu
.
Do đó,
(1) 0
'
( , ) , ' 0
uu
f x u lim inf c u
.
Sự hội tụ
k
uu
theo tôpô rời rạc nghĩa là
k
u
trùng với
u
từ một lúc
nào đó trở đi. Khi đó ta có kết luận 2) cho đạo hàm Dini. Kết luận cũng nhƣ
thế cho đạo hàm Hadamard, bởi vì phép toán
xx
và tích vô hƣớng là liên
tục theo tôpô mạnh.
Sự hội tụ
k
uu
theo tôpô yếu kéo theo
,
k
uu
,uu
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12
Do đó,
2
2 2 2
, , 2 , ,
k k k k k k
u u u u u u u u u u u u
= 2 – 2
,
k
uu
0.
Điều đó nghĩa là
k
uu
theo tôpô mạnh. Do vậy đạo hàm
(1) 0
( , )f x u
theo
tôpô yếu và tôpô mạnh trên S là trùng nhau.
Lấy
> 0. Do c
l
2
nên tồn tại số nguyên dƣơng k sao cho
i
ik
c
.
Nếu
'u
S mà
'
i
u
= 0 với i < k thì
,'cu
. Do đó,
(1) 0
( , )f x u
= 0, nếu S
là tôpô phản rời rạc.
Ví dụ trên đã đặt ra câu hỏi sau đây:
Với một hàm bất kỳ
:fE
có x
0
là cực tiểu chặt, có luôn tồn tại
hay không một tôpô S sao cho mặt cầu đơn vị S là compact theo tôpô S và x
0
là điểm cực tiểu chặt đƣợc nhận biết theo định lý 1.2 ( xác định các đạo hàm
của f theo S )?
Câu trả lời là phủ định ở trong mục 1.4. Kết quả khẳng định rằng nếu x
0
là điểm cực tiểu theo tôpô S nào đó thì nó cũng là điểm cực tiểu theo tôpô
phản rời rạc. Một cách chính xác hơn, ta thấy rằng định lý 1.2 chỉ đặc trƣng
cho điểm cực tiểu cô lập.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét