P
(C)
= P(A
1
).P(A
2
/A
1
).P(A
3
/A
1
∩A
2
)
2 1
2 1
6 3
4 2
3 3
9 6
. .1
C C
C C
C C
= =
15.3.6.2 9
84.20 28
=
.
Bài 7:
M t trò ch i có xác su t th ng m i ván là 1/50. N u m tng i ch i 50 ván thìộ ơ ấ ắ ỗ ế ộ ườ ơ
xác su t đ ng i này tháng ít nh t m t ván. ấ ể ườ ấ ộ
Bài gi iả
Xác su t th ng m i ván: p ấ ắ ỗ
02.0
50
1
==
Ta có xác su t đ ng i y ch i 50 ván mà không th ng ván nào:ấ ể ườ ấ ơ ắ
Goi X là s l n thành công trong dãy phép th Becnuli: ố ầ ử
)02.0,50(~ BX
364.098.002.0)0(
5000
50
===⇒ CXP
⇒
Xác su t đ ng i ch i 50 ván thì th ng ít nh t m t ván là:ấ ể ườ ơ ắ ấ ộ
P = 1 – 0.364 = 0.6358
Câu 8. M t phân x ng có 40 n công nhân và 20 nam công nhân. T l t tộ ưở ữ ỷ ệ ố
nghi p ph thông đ i v i n là 15%, v i nam là 20%. Ch n ng u nhiên 1 côngệ ổ ố ớ ữ ớ ọ ẫ
nhân c a phân x ng. Xác su t đ ch n đ c công nhân t t nghi o ph thôngủ ưở ấ ể ọ ượ ố ệ ổ
trung h cọ
Gi i:ả
S công nhân c a phân x ng t t nghi p trung h c ph thông là:ố ủ ưở ố ệ ọ ổ
Đ i v i n : ố ớ ữ 40x15% = 6 ng iườ
Đ i v i nam:ố ớ 20x20% = 4 ng iườ
T ng s công nhân t t nghi p ph thông trung h c c a phân x ng là:ổ ố ố ệ ổ ọ ủ ưở
6 + 4 = 10 ng iườ
Xác su t đ ch n đ c công nhân t t nghi p trung h c ph thông là:ấ ể ọ ượ ố ệ ọ ổ
6
1
60
10
1
60
1
10
==
C
C
Bài 9
Trong h p I có 4 bi tr ng và 2 bi đen ,h p II có 3 bi tr ng và 3 bi đen .Các bi cóộ ắ ộ ắ
kích c nh nhau chuy n 1 bi t h p II sang h p I ,sau đó l y ng u nhiên 1 bi tỡ ư ể ừ ộ ộ ấ ẫ ừ
h p I .Xác su t đ l y ra bi tr ngộ ấ ể ấ ắ .
Gi i ả
G iọ
A
1:
là bi tr ng l y t h p II sang h p Iắ ấ ừ ộ ộ
A
2 :
là bi đen l y t h p II sang h p Iấ ừ ộ ộ
C : l y viên bi cu i cùng là bi xanhấ ố
Áp d ng cong th c xác su t đ y đ ụ ứ ấ ầ ủ
P(C)= P(A
1
).P( C/A
1
)+P(A
2
).P(C/A
2
)
P(A
1
)=
2
1
P(A
2
) =
2
1
P(C/A
1
)=
7
3
P(C/A
2
)=
7
5
P(C)=
7
4
14
8
7
5
.
2
1
7
3
.
2
1
==+
BÀI 10
G i Aọ
i
la ph n i có 1 bi đ . A là bc m i ph n có 1 bi đ ầ ỏ ỗ ầ ỏ
A=A
1
A
2
A
3
==> P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
)P(
1
2
A
A
)P(
21
3
AA
A
)=
1
4
8
3
6
1
2
4
12
3
9
1
3
••
C
CC
C
CC
=0.2857
Bài 11: M t lô hàng do 3 nhà máy I, II, III s n xu t. t l s n ph m do 3 nhàộ ả ấ ỷ ệ ả ẩ
máy s n xu t l n l t là 30%, 20%, 50% và t l ph ph m t ng ng là 1%,ả ấ ầ ượ ỉ ệ ế ẩ ươ ứ
2%, 3%. ch n ng u nhiên s n ph m t lô hàng. Xác su t đ s n ph m này làọ ẫ ả ẩ ừ ấ ể ả ẩ
ph ph m?ế ẩ
Bài gi i:ả
G i:ọ A là bi n c s n ph m đ c ch n là ph ph m.ế ố ả ẩ ượ ọ ế ẩ
B
i
s n ph m đ c ch n do nhà máy th i s n xu t ( i = 1, 2, 3)ả ẩ ượ ọ ứ ả ấ
Vì ch l y ng u nhiên 1 s n ph m nên có { Bỉ ấ ẫ ả ẩ
1
, B
2
, B
3
} là m t h đ y đ . Theo g iộ ệ ầ ủ ả
thi t ta có: ế P(B
1
) =
10
3
P(B
2
) =
10
2
P(B
3
) =
10
5
Áp d ng công th c xác su t toàn ph n ta đ c:ụ ứ ấ ầ ượ
P(A) =
)/().(
3
1
∑
=i
ii
BAPBP
=
10
3
.0,01 +
10
2
.0,02 +
10
5
.0,03 = 0,022
Câu 12: Có 3 h p thu c, h p I có 5 ng t t và 2 ng x u, h p II có 4 ng t t vàộ ố ộ ố ố ố ấ ộ ố ố
1 ng x u, h p III có 3 ng t t và 2 ng x u. L y ng u nhiên 1 h p và t đó rútố ấ ộ ố ố ố ấ ấ ẫ ộ ừ
ra 1 ng thu c thì đ c ng t t. Xác su t đ ng này thuôc h p II.ố ố ượ ố ố ấ ể ố ộ
Bài làm:
G i Aọ
i
là bi n c ch n h p th i ế ố ọ ộ ứ
)1,3(i =
.
B là bi n c ch n 1 ng t t.ế ố ọ ố ố
V y xác su t đ B thu c h p II là:ậ ấ ể ộ ộ
)(
P
)(
P
)(
P
B
BA
B
A
2
2
∩
=
Trong đó:
+
)(
.P
)(
P
)(
P
2
22
A
B
ABA
=
∩
=
4
3
.
2
1
=
15
4
.
+ Ta có: A
1
, A
2
, A
3
đ c l pộ ậ
A
1
∩
A
2
∩
A
3
=
Ω
,
{ }
321
A,A,A
là h đ y đ .ệ ầ ủ
Áp d ng công th c xác su t đ y đ ta có:ụ ứ ấ ầ ủ
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(
P
(
P
3
3
2
2
1
1
A
B
A
A
B
A
A
B
AB)
++=
=
++
5
3
5
4
7
5
3
1
=
105
74
.
)(
P
)(
P
)(
P
B
BA
B
A
2
2
∩
=
=
105
74
15
4
=
⋅
37
14
V y xác su t đ ng thu c đ c l y ra thu c h p II là: ậ ấ ể ố ố ượ ấ ộ ộ
⋅
37
14
Câu 13.
Trong m t lô hàng có 800 s n ph m lo i 1 và 200 s n ph m lo i 2. L y ng uộ ả ẩ ạ ả ẩ ạ ấ ẫ
nhiên ra 5 s n ph m có hoàn l i. G i X là s s n ph m lo i 1 l y đ c.ả ẩ ạ ọ ố ả ẩ ạ ấ ượ
a) X tuân theo quy lu t nào? Vi t bi u th c xác su t t ng quát c a quy lu t.ậ ế ể ứ ấ ổ ủ ậ
b) Tính kỳ v ng và ph ng sai cua X.ọ ươ
c) Tìm s s n ph m trung bình đ c l y ra và tính kh năng đ x y ra đi uố ả ẩ ượ ấ ả ể ả ề
đó.
Bài Gi iả
a) X tuân theo lu t phân ph i nh th c.ậ ố ị ứ
Bi u th c t ng quát ể ứ ổ
X đ c g i là có phân ph i nh th c ký hi u là Xượ ọ ố ị ứ ệ
β(:
n,p)
Có hàm xác su t: ấ
( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
−
= =
(
1q p= −
)
V i ớ
{ }
0,1,2, , , (0;1)k n p= ∈
b) Kỳ v ng và ph ng sai c a Xọ ươ ủ
Kỳ v ng:ọ
X 1 2 3 4 5
X
P
0,0062
7
0,0508
8
0,2050
6
0,4106
3
0,32686
E(X)= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686
=4,00003
Ph ng sai:ươ
2
X
1 4 9 16 25
2
X
P
0,0062
7
0,0508
8
0,2050
6
0,4106
3
0,32686
2
E(X )= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686
=16,79691
2 2 2
( ) ( ) ( ( )) 16,79691 (4,00003) 0,79667D X E X E X= − = − =
Bài 14: Ba công nhân cùng làm ra m t lo i s n ph m, xác su t đ ng i th 1, 2, 3ộ ạ ả ẩ ấ ề ườ ứ
làm ra chính ph m t ng ng là 0.9, 0.9, 0.8. Có m t ng i trong đó làm ra 8 s n ph mẩ ư ứ ộ ườ ả ẩ
th y có 2 ph ph m. Tìm XS đ trong 8 s n ph m ti p theo cũng do ng i đó làm raấ ế ẩ ể ả ẩ ế ườ
s có 6 chính ph m.ẽ ẩ
Bài gi iả
G i Aọ
i
là các s n ph m do công nhân th i s n xu t, i = 1, 2, 3ả ẩ ứ ả ấ
P(A)= P(A
1
)P
1
A
A
+ P(A
2
)P
2
A
A
+ P(A
3
)P
3
A
A
=
3
1
266
8
)1.0()9.0(C
+
3
1
266
8
)1.0()9.0(C
+
3
1
266
8
)2.0()8.0(C
= 0.2 (*)
Sau khi A x y ra, xác su t c a nhóm đ y đ đã phân b l i nh sau, bi u th c (*) choả ấ ủ ầ ủ ố ạ ư ể ứ
ta P
1
A
A
= 0.248
≈
0.25, t ng t Pươ ự
2
A
A
= 0.248
≈
0.25,
t ng t Pươ ự
3
A
A
= 0.501
≈
0.5
G i B là bi n c 8 s n ph m ti p theo cũng do công nhân đó s n xu t và có 2 phọ ế ố ả ẩ ế ả ấ ế
ph m.ẩ
P(B) =
11
AA
B
P
A
A
P
+
22
AA
B
P
A
A
P
+
33
AA
B
P
A
A
P
=
( ) ( )
26
6
8
1.09.025.0 C×
+
( ) ( )
26
6
8
1.09.025.0 C×
+
( ) ( )
26
6
8
2.08.025.0 C×
= 0.23
Câu 15 : Lu t phân ph i c a bi n (X, Y) cho b i b ng:ậ ố ủ ế ở ả
Y
X
20 40 60
10 λ λ 0
20 2λ λ λ
30 3λ λ λ
Xác đ nh λ và các phân ph i X, Y?ị ố
Gi iả :
Các phân ph i X, Y:ố
Y 20 40 60
P
Y
6 λ 3 λ 2
λ
Xác đ nh λ:ị
11 λ = 1
⇒
λ = 1/11
Câu 16. (X,Y) là c p BNN có hàm m t đ đ ng th i:ặ ậ ộ ồ ờ
( )
<<<<
−−
0
42,20,
8
6
,
yx
yx
yxf
Tính P(1<Y<3/X=2)
X 10 20 30
P
X
2 λ 4 λ 5 λ
Gi i:ả
Hàm m t đ phân ph i l c a Xậ ộ ố ề ủ
( ) ( )
−
=
−−=
−−
==
<<
∫ ∫
=
=
=
=
4
2
4
2
4
2
2
4
3
2
6
8
1
8
6
,
20
y
y
y
y
X
xy
xyydy
yx
dyyxfxf
x
Hàm m t đ phân ph i l c a Yậ ộ ố ề ủ
( ) ( )
−
=
−−=
−−
==
<<
∫ ∫
=
=
=
=
2
0
2
0
2
0
2
4
5
2
6
8
1
8
6
,
42
x
x
x
x
Y
y
xy
x
xdx
yx
dxyxfyf
y
Ta có
( ) ( ) ( )
yxfyfxf
YX
,≠
Hàm m t đ có đi u ki n c a Y v i đi u ki n X=xậ ộ ề ệ ủ ớ ề ệ
( )
( )
( )
( )
42,20,
32
6
4
3
8
6
,
<<<<
−
−−
=
−
−−
==
yx
x
yx
x
yx
xf
yxf
x
y
f
X
Y
Thay s vào ta đ cố ượ
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
4
3
2
4
2
1
2
4
32
6
2/2/322/31
3
2
2
3
2
2
3
2
3
2
=
−=
−
=
−
−−
=
====<<==<<
∫∫
∫
=
=
=
=
=
=
=
y
y
y
dy
x
yx
dyxyfXYPXYP
y
y
x
y
y
y
y
Y
BÀI 18
a/ Tìm P(X+Y<9.5)
M(X+Y)=M(X)+M(Y)=12
D(X+Y)=D(X)+D(Y)=
222
5.125.29.02.1
==+
0485.04515.05.05.0)667.1(
5.1
12
5.1
125.9
]5.9[
=−=+−=
−∞−
−
−
=<+<−∞
ϕϕϕ
YXP
b/ Tìm
[ ]
YXP
<
M(X-Y)=M(X)-M(Y)= 2
D(X-Y)=D(X)+D(Y)= 2.25=
2
5.1
0918.04082.05.05.0)333.1(
5.1
2
5.1
20
)0()(
=−=+−=
−∞−
−
−
=<−<−∞=<
ϕϕϕ
YXPYXP
c/ tìm P(X>2Y)
M(X-2Y)=M(X)-2M(Y)=-3
D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)=4.68=
2
163.2
4165.05.0)386.1(5.0
163.2
30
163.2
3
)20()2(
−=−=
+
−
+∞
=∞<−<=>
ϕϕϕ
YXPYXP
d/ Tìm
[ ]
2832
<+
YXP
M(2X+3Y)=2M(X)+3M(Y)=29
D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)=13.032=
2
61.3
394.0106.05.0
61.3
28
61.3
2928
)2832(
=−=
−∞−
−
−
=<+<−∞
ϕϕ
YXP
Bài 19: gi s cho 2 bi n ng u nhiên đ c l p có cùng phân ph i chu n ả ử ế ẫ ộ ậ ố ẩ
∈
N(0,1
2
).
Tính các xác xu t sau:ấ
a/ P(X<Y)
b/ P( |X| < Y)
c/ P( X < 1
∩
Y < 1)
Bài gi i:ả
a/
e
x
x
x
2
2
2
1
−
∫
∞=
−∞=
π
dx
−
∞=
=
∫
dye
y
y
xy
2
2
2
1
π
=
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
=
−
−
∞=
−∞=
∫
dx
x
erfe
x
x
x
π
b/
Hình a
2
1
4
1
.2
22
1
2
2
1
2
1
2
2
22
2
22
==
=
∫
∫∫
∞=
−∞=
−
=
−∞=
−
∞=
−∞=
−
dx
x
erfe
dyedxe
x
x
x
xy
y
y
x
x
x
π
ππ
c/
707,08314,0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
22
==
=
∫
∫∫
=
−∞=
−
=
−∞=
−
=
−∞=
−
y
y
y
y
y
y
x
x
x
dye
dyedxe
π
ππ
Hình c
Câu 20: Gi s trái cây c a nông tr ng dã đ c đóng thành s t, m i s t 10ả ử ủ ườ ượ ọ ỗ ọ
trái. Ki m tra 50 s t đ c k t qu nh sau:ể ọ ượ ế ả ư
S tráiố
h ngỏ
trong s t:ọ
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S s t coố ọ
k trái
h ng.ỏ
0 2 3 7
2
0
6 4 7 0 0 1
a) Tìm c l ng cho t l trái cây h ng trong nông tr ng.ướ ượ ỉ ệ ỏ ườ
b) Tìm c l ng cho t l trái cây h ng trung bình m i s t.ướ ượ ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ
Hình b
c) Tìm c l ng không ch ch cho đ bi n đ ng t l trái cây h ng m iướ ượ ệ ộ ế ộ ỉ ệ ỏ ở ỗ
s t.ọ
Bài làm:
a) c l ng cho t l trái cây h ng trong nông tr ng chính là c l ngƯớ ượ ỉ ệ ỏ ườ ướ ượ
đi m cho t l đám đông.ể ỉ ệ
T ng s trái cây đi u tra là:ổ ố ề
n = 10.50 = 500.
S tái cây h ng phát hi n đ c:ố ỏ ệ ượ
M = 0.0+1.2+2.3+3.7+4.20+5.6+6.4+7.7+8.0+9.0+10.1 = 222.
T l h ng trong m u là: f = ỉ ệ ỏ ẫ
500
222
= 0,444.
Vây c l ng t l trái cây h ng trong nông tr ng là vào kho ng : 44,4%ướ ượ ỉ ệ ỏ ườ ả
b) G i xọ
i
là t l ph n trăm trái cây h ng m i s t. ng v i s trái h ng trongỉ ệ ầ ỏ ở ỗ ọ Ứ ớ ố ỏ
s t ta có các giá tr c a xọ ị ủ
i
(%) là: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.
L y xấ
0
= 40, h = 10, x
i’ =
h
xx
oi
−
.
Ta có b ng sau:ả
x
i
(%) n
i
x
i’
x
i’
n
i
2
i'
x
n
i
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
2
3
7
20
6
4
7
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-6
-6
-7
0
6
8
21
0
0
18
12
7
0
6
16
63
0
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét