Chơng 8 chuyển động thế phẳng
Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trng động lực học của chuyển động thế phẳng
của chất lỏng lý tởng
Phơng pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức
8.1- ứng dụng hàm biến phức
I. Thế phức:
Dòng chất lỏng lý tởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện:
0urot =
Khi đó ta đa vào hàm thế vận tốc , trong đó các thành phần vận tốc đợc xác định:
i
u
i
=
(i=x,y,z) (1)
Vectơ vận tốc:
= gradu
Ta giả thiết ;
dt
d
;
2
2
dt
d
là liên tục theo toạ độ
Ta nhận thấy bất kỳ hàm + C nào cũng thoả mãn (1) : thế của trờng vận tốc
chính xác đến hằng số.
Đối với chuyển động thế dừng: =(x,y,z); khi =(x,y,z)=const ta đợc phơng
trình mặt đẳng thế (mặt có thế bằng nhau)
Lý thuyết giải tích vectơ cho thấy: vectơ grad vuông góc với mặt =const do đó
trên mặt đẳng thế vecơ vận tốc tại mọi điểm sẽ vuông góc với nó.
Xét chuyển động thế, phẳng, dừng, khi đó chất lỏng di chuyển trong mặt phẳng
xOy, thế vận tốc đợc xác định nh sau:
x
u
x
=
;
y
u
y
=
Phơng trình các đờng đẳng thế trong mặt phẳng xOy sẽ là: (x,y) = C
Gọi hàm (x,y) thoả mãn điều kiện:
y
u
x
=
;
x
u
y
=
Biểu thức (x,y) = C là phơng trình đờng dòng
1
Hàm thế và hàm dòng thoả mãn phơng trình Laplace; bởi vì:
Từ điều kiện không xoáy:
0
x
u
x
u
urot
x
y
x
=
=
ta có
0
yx
2
2
2
2
=
+
Từ phơng trình liên tục:
0
y
u
x
u
y
x
=
+
ta có
0
yx
2
2
2
2
=
+
Nh vậy hàm thế và hàm dòng là các hàm điều hoà (Laplace=0)
Ta nhận thấy hàm thế và hàm dòng thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann (điều
kiện trực giao giữa đờng dòng và đờng đẳng thế)
0
yyxx
=
+
Trong lý thuyết hàm biến phức, nếu và là các hàm điều hoà và thoả mãn điều
kiện Cauchy- Riemann thì hàm phức (x,y) + i(x,y) là hàm của 1 biến số phức z
với z= x+iy=r(cos+isin)=e.exp(i)
Nh vậy tồn tại hàm phức W(z)= (x,y) + i(x,y) và còn gọi là thế phức.
Hình 1
II. Vận tốc phức
Lý thuyết hàm biến phức cho:
)iy(d
dW
dx
dW
dz
dW
==
nghĩa là đạo hàm
dz
dW
và đạo hàm theo 2 phơng của trục thực và trục ảo bằng
nhau, ta có thể chứng minh:
2
z
x
y
i
1
( )
uiuu
yy
i
dy
dW
i
iyd
dW
uiuu
x
i
xdx
dW
yx
yx
==
+
==
==
+
=
u=u
x
+iu
y
gọi là vận tốc phức;
u
= u
x
+iu
y
gọi là vận tốc liên hợp; mặt phẳng (u
x,
u
y
)
gọi là mặt phẳng vận tốc.
Kết luận: Để khảo sát chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tởng ta áp dụng lý
thuyết hàm biến phức, mỗi thế phức tơng ứng với 1 chuyển động nào đấy của chất
lỏng; ngợc lại, một chuyển động thế sẽ đợc biểu diễn bằng một thế phức nào đấy.
Từ đấy ta có 2 loại bài toán:
- Xác định chuyển động (trờng vận tốc) khi cho biết thế phức.
- Xác định thế phức khi cho biết đờng biên của vật bị bao quanh và vận tốc ở vô
cùng.
8.2 Một số chuyển động đơn giản:
I. Chuyển động phẳng:
Thế phức
( ) ( )
iyxaazzW +==
trong đó a là hằng số.
Ta có 2 cas:
a) a là số thực a
1
( ) ( )
+=+== iiyxazazW
11
Do đó = a
1
x và = a
1
y
Đờng đẳng thế: = a
1
x = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các đờng dòng: = a
1
y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các thành phần vận tốc:
1x
a
yx
u =
=
= 0
xy
u
y
=
=
=
Vậy ta có chuyển động thẳng theo phơng x (hình2a)
3
=const
y
x
=const
u
x
=a
1
=const
y
x
=const
u
Hình 2b
b) a là số ảo: a = ia
1
(a
1
là số thực); tơng tự nh trên, ta tìm đợc:
Đờng đẳng thế: = - a
1
y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục x.
Các đờng dòng: = a
1
x = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các thành phần vận tốc:
0
yx
u
x
=
=
=
1y
a
xy
u =
=
=
So với cas a thì các đờng dòng và các đờng đẳng thế đổi chỗ cho nhau; các hình
chiếu vận tốc cũng đổi chỗ cho nhau.
c) a là số phức: a = a
1
+ ia
2
(a
1
; a
2
là số thực dơng)
Thế phức có dạng:
( ) ( )( ) ( ) ( )
+=++=++== iyaxaiyaxaiyxiaaazzW
122121
Vậy
( ) ( )
yaxayaxa
1221
+==
Ta có u
x
= a
1
u
y
= - a
2
Đờng đẳng thế: = a
1
x - a
2
y = Const hay
Cx
a
a
y
2
1
+=
Các đờng dòng: = a
2
x + a
1
y = Const hay
'
1
2
Cx
a
a
y +=
Đây là phơng trình các đờng thẳng nghiêng vuông góc với nhau (hình 2b)
II. Điểm nguồn và điểm hút:
Thế phức:
( )
+=++=+===
iiarlnaelnarlna)reln(azlnazW
ii
Hàm thế vận tốc: =alnr : =const r = const: đờng đẳng thế là họ
các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độ
Hàm dòng: =a : =const = const: đờng dòng là họ đờng
thẳng đi qua gốc toạ độ
4
Hình 2a
Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:
( )
0
r
1
u
r
a
rlna
rr
u
r
=
=
=
=
=
Nh vậy chỉ có thành phần vận tốc theo phơng bán kính, u
r
dơng khi có chiều hớng
từ tâm ra ngoài tức là a dơng, khi đó ta có các đờng dòng đi từ tâm ra: điểm
nguồn.
Ngợc lại, u
r
âm (tức là a âm) khi có chiều hớng từ ngoài vào tâm, khi đó ta có các
đờng dòng đi ngoài vào tâm : điểm hút. Tại tâm ta có r=0, khi đó u
r
có giá trị
bằng , ta gọi đây là điểm đặt biệt.
Lu lợng điểm nguồn hay điểm hút đợc xác định nh sau:
a2dr
r
a
druQ
2
0
2
0
r
===
Nh vậy hằng số a của thế phức có thể biểu diễn qua Q:
=
2
Q
a
Thế phức có dạng
zln
2
Q
W
z
=
III Chuyển động xoáy (xoáy thế vận tốc):
Xét thế phức W=a lnz trong đó a là số ảo: a=ia
1
(a
1
là số thực)
W=a lnz =ia
1
lnz=ia
1
ln(re
i
)=+i
Trong trờng hợp này ta có:
Hàm thế vận tốc: =-a
1
: =const = const: đờng đẳng thế là họ
đờng thẳng đi qua gốc toạ độ
5
=const
=const
Hàm dòng: = a
1
lnr: =const r = const: đờng dòng là họ các vòng
tròn có tâm trùng với gốc toạ độ (chuyển động xoáy)
Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:
( )
r
a
r
1
u
0a
rr
u
1
1r
=
=
=
=
=
ý nghĩa của a
1
: ta định nghĩa
1
1
2
0
s
a2r2
r
a
rd.udsu ====
:lu số vận tốc
(circular).
Thay vào biểu thức của thế phức:
zln
i2
zln
2
i
WƯ
=
=
Vận tốc
r2
u
=
nghĩa là
const
2
ru =
=
Một chuyển động nh thế ứng với dòng có lu số vận tốc quanh sợi xoáy. Trong
chuyển động phẳng đây là dòng quanh 1 điểm xoáy nằm ở tâm toạ độ.
IV Chuyển động lỡng cực:
Khảo sát thé phức:
z
1
2
m
W
z
=
Thay z=x+iy ta có
( )
( )( )
( )
22
z
yx
iyx
2
m
iyxiyx
iyx
2
m
W
+
=
+
=
Suy ra
22
yx
x
2
m
+
=
và
22
yx
y
2
m
+
=
Phơng trình đờng đẳng thế: x
2
+ y
2
= Cx: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục x
và đi qua gốc toạ độ
Phơng trình đờng dòng: x
2
+ y
2
= Cy: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục y và
đi qua gốc toạ độ
Chuyển động này là chuyển động lỡng cực, m gọi là moment của lỡng cực
6
=const
=const
8.3- dòng bao quanh trụ tròn không có lu số vận tốc
(=0)
I. Thế phức:
Xét thế phức tổng hợp của thế phức chuyển động thẳng song song với trục x và l-
ỡng cực.
( )
z
1
2
m
zVzW
+=
Ta xác định phần thực và phần ảo của W(z)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
)))) ))))) ))
))) )))) ))
+
+
+
+=
+
++=
+
++=
2222
22
yx
y
2
m
yVi
yx
x
2
m
xV
yx
iyx
2
m
iyxV
iyx
1
2
m
iyxVzW
II. Đờng dòng
Phơng trình đờng dòng:
Cho C=0, ta có phơng trình đờng dòng không gồm 2 đờng:
y = 0: trục hoành Ox
=+
V2
m
yx
22
: vòng tròn có tâm là gốc toạ độ và
=
V2
m
a
là bán kính.
Thay đờng dòng không bằng thành rắn thì ta đợc dòng phẳng bao quanh trụ tròn
với vận tốc ở vô cùng V
vuông góc với trục hình trụ.
7
( )
Cconsty
yx
1
2
m
V
22
==
+
III. Phân bố vận tốc và áp suất
Biểu diễn thế vận tốc dới dạng toạ độ trụ:
+=
2
r
1
2
m
Vcosr
Với
=
= Va
2
m
V2
m
a
2
+=
2
2
r
a
1cosrV
Các thành phần vận tốc có dạng:
+=
=
=
=
sin
r
a
1V
r
u
cos
r
a
1V
r
u
2
2
2
2
r
Trên mặt trụ r = a: u
r
= 0; u
= -2V
sin; nh vậy vận tốc trên mặt trụ là theo phơng
tiếp tuyến với mặt trụ và biến đổi theo qui luật sin. Tại = 0 và (tại A và B) ta
có u
A
= u
B
= 0; A và B gọi là 2 điểm tới hạn (điểm dừng)
+ Xác định phân bố áp suất trên mặt trụ:
Viết phơng trình Bernoulli cho đờng dòng không qua 2 mặt cắt: một ở vô cùng
có V
; p
; một qua mặt trụ có u;p:
( )
+=
+=
=
+=
+
2
2
2
22
22
sin41
2
V
p
V
u
1
2
V
pp
sinV2uDo
2
u
p
2
V
p
Hình chiếu của áp lực lên 1 phân tố diện tích ds.1=a.d.1 sẽ là:
8
( )
0dacospX
dacospdX
0dsinsin41
2
V
adsinapY
dasinpdYY
dasinpdY
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
==
=
=
=
==
=
Nh vậy khi dòng thế của chất lỏng bao quanh trụ tròn sẽ không có 1 lực nào tác
dụng lên trụ. (Nghịch lý Dalambert)
Trong thực tế, khi dòng chất lỏng thực chảy bao quanh trụ tròn, phân bố áp suất
sẽ không đối xứng qua trục y nữa nên xuất hiện lực cản theo phơng chuyển động:
hình tròn có dạng khí động xấu.
Gọi
=
=
2
2
p
sin41
V
2
1
pp
C
: hệ số áp suất
Khảo sát C
p
; ta nhận thấy nếu qui ớc góc tính từ điểm tới hạn A theo chiều kim
đồng hồ thì :
Tại A (=0) : C
p
=1
2
V
2
1
pp
+=
Tại = 90
o
C
p
= 3: lớn nhất.
2
V
2
1
3pp
=
Tại 2 đoạn 0 90
o
và 90
o
: phân bố áp suất là nh nhau.
Trong thực nghiệm, do xuất hiện lực ma sát nhớt nên chất lỏng không thể
chảy bao quanh hình trụ một cách dần đều không có điểm rời nh trong chất lỏng
lý tởng: Dòng chất lỏng sau khi bị chia đôi tại A sẽ bao bề mặt hình trụ đến điểm
S ( = 82
o
với dòng chảy tầng và = 120
o
với dòng chảy rối). sau đó dòng chảy
tách khỏi mặt trụ, nhờng chỗ cho chất lỏng từ phía sau ùa tới.
8.4- dòng bao quanh trụ tròn có lu số vận tốc (0)
I. Thế phức:
9
Xét thế phức tổng hợp của thế phức dòng bao quanh trụ tròn không có lu số vận
tốc và chuyển động xoáy
( )
zln
i2z
a
zVzW
2
+
+=
Ta xác định phần thực và phần ảo của W(z) để tìm thế vận tốc và hàm dòng:
rln
2
sinr
r
a
1V
2
cosr
r
a
1V
2
2
2
2
=
+
+=
Do đó
r2
sin
r
a
1V
r
u
cosr
r
a
1V
r
u
2
2
2
2
r
+
+=
=
=
=
Trên mặt trụ r = a ta có:
a2
sinV2u
0u
r
+=
=
Ta tìm điểm tới hạn trên mặt trụ (điểm tại đó vận tốc bằng 0); tại đó u
=0, do đó:
==
+=
aV4
sin0
a2
sinV2u
Ta có các trờng hợp sau:
a) Khi =0: dòng bao quanh trụ tròn không có lu số vận tốc, vị trí 2 điểm tới hạn
ứng với sin
*
=0 tơng ứng
với
*
=0 và
*
=180
o
(điểm A và B)
b)Khi 4V
a: 2 điểm tới hạn nằm trên mặt trụ tại 2 vị trí đối xứng nhau qua
trục y, trong khoảng 0
*
c) Khi =4V
a: hai điểm A, B trùng nhau trên trục y tại góc
*
=90
o
d) Khi >4V
a: A, B nằm trên trục y nhng một điểm ở ngoài trụ tròn còn điểm
kia nằm trong trụ tròn.
10
Trong cả 4 trờng hợp các đờng dòng đối xứng qua y nhng không đối xứng qua x.
Vì vậy đối với dòng bao quanh trụ tròn có lu số vận tốc hình chiếu của vectow áp
lực trên trục x bằng 0 còn hình chiếu trên trục y là:
=
=
+=
=
Vdsin
V
Y
sin2
aV2
2
V
2
V
ppBerrnoulliPt
dsinpaY
2
0
2
2
22
Nh vậy vectơ chính của áp lực chỉ có một thành phần vuông góc với vận tốc ở vô
cùng và có giá trị bằng -V
(Định lý Giucốpxki về lực nâng).
Điều này giải thích khi một vật hình trụ hay hình tròn quay trong chất lỏng thực
chuyển động ta có thể xem nh dòng bao quanh nó có lu số vận tốc và do đó xuất
hiện lực ngang vuông góc với vận tốc của chất lỏng tác dụng lên vật đó: Hiệu ứng
Mắcnut (quả bóng xoáy)
M5. dòng bao quanh profil cánh
Bài toán ngợc: Tìm thế phức khi biết đờng biên của vật và vận tốc ở xa vô cùng.
Việc tìm thế phức cho dòng bao quanh profil cánh và những vật có hình dạng khác
nhau là rất khó khăn ngời ta sử dụng dòng bao quanh 1 vật đơn giản (trụ tròn) đã đ-
ợc nghiên cứu kỹ để làm chuẩn để tìm các thông số của dòng bao quanh các vật có
hình dạng bất kỳ.
I. Phép biến hình bảo giác.
Dòng chất lỏng lý tởng không nén đợc bao quanh profil cánh có thể nghiên cứu bằng
phơng pháp biến hình bảo giác.
Phép biến hình bảo giác là phép biến đổi từ bề mặt này sang bề mặt khác trong đó góc
giữa các đờng đợc bảo toàn.
Trong lý thuyết hàm biến phức vấn đề cơ bản của phơng pháp biến hình bảo giác là
việc biến đổi từ hình này sang hình kia và thiết lập mối quan hệ giữa hai hình đó.
Bài toán: Tìm dòng bao quanh profil cánh C trong mặt phẳng z mà cha biết thế phức
W(z).
11
Ta khảo sát vòng tròn C
1
có bán kính trong mặt phẳng =+i (mặt phẳng ánh xạ),
vòng tròn a có tâm trùng với gốc toạ độ. Thế phức W
1
của dòng này đã biết.
Xét hàm biến phức z=f() thực hiện phép biến hình từ miền ngoài chu tuyến C của
profil cánh sang miền ngoài chu vi vòng tròn C
1
.
Hàm biến đổi z=f() phải thoả mãn các điều kiện sau để có phép biến đổi 1-1:
+ Các điểm ở xa vô cùng trong mp z sẽ chuyển sang các điểm ở xa vô cùng trong mp
+ Phơng vận tốc ở xa vô cùng trong 2 mp là không đổi
Do dòng bao quanh hình trụ không song song với trục x nên lấy vận tốc liên hợp
yx
iVVV
=
Thế phức của dòng có lu số vận tốc bao quanh trụ tròn:
( )
+
+=
ln
i2
aV
VW
1
2
1
11
Do W(z)=W[f()]=W
1
() nên
( )
+
+=
ln
i2
aV
VmzW
2
với z=f()
Trong đó
( )
=
=
'f
d
dz
m
12
C
1
L
1
V
1
a
x
y
Z
C
L
V
B
B
1
Do
( ) ( )
==
=
'f.uuhay'f
dz
dW
d
dz
dz
dW
d
dW
1
1
Ta có
=phầnthực
dz.u
L
=phthực
d.
d
dz
.u
1
L
=phthực
d.u
1
L
1
=
1
lu số vận tốc theo mọi đờng cong kín bao quanh profil sẽ không đổi khi thực hiện
phép biến hình bảo giác
Vậy phép biến hình bảo giác là phép biến đổi từ bề mặt này sang bề mặt khác trong
đó góc giữa các đờng đợc bảo toàn.
Ví dụ:Xét hàm biến đổi
( )
+==
2
a
2
1
fz
(Phép biến đổi Joukovski)
( ) ( )
+
+
++=
+
++=+=
22
2
22
22
iaa
i
2
1
i
a
i
2
1
iyxz
+
=
+
+=
22
2
22
2
a
2
1
y
a
2
1
x
Xét các trờng hợp sau:
1) Vòng tròn trong mp có tâm trùng với gốc toạ độ và bán kính a. Phơng trình vòng
tròn là
222
a
=+
Thay biểu thức trên vào hàm biến đổi x,y ta có: x=, y=0. Vì trong mp thay đổi từ -
a đến +a nên pt x= xác định đoạn thẳng dài 2a
2) Vòng tròn có tâm khác a, tâm ở trên trục thực profil đối xứng trong mp z
3) Vòng tròn có tâm khác a, tâm không ở trên 2 trục toạ độ profil cánh cong đuôi
nhọn trong mp z
13
a
A
B
y
R
O
x
y
Z
Kết luận: Khi cho biết các giá trị a, bán kính vòng biến hình R và tâm của nó thì có thể
tìm đợc trong mp Z một profil cánh nào đó: profil Joukovski
14
x
Z
a a
R
O
y
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét